de reeks van Fibonacci en de Gulden Snede

de rij van Fibonacci

Als voorbereiding op een van de ontmoetingen met de keizer, kreeg Fibonacci door de hofgeleerde Johannes van Palermo wiskundige problemen voorgelegd. Hij wist die met verbluffend gemak op te lossen door gebruik te maken van wetmatigheden in getallenreeksen. Hij behandelt dit onderwerp in het derde en grootste deel van Liber Abacus. De Pisaan gebruikte zijn “reeks van Fibonacci” voor het berekenen van complexe problemen. Een bekend voorbeeld is het “konijnenprobleem”: wat is de toename van een konijnenpopulatie als een konijnenpaar elke maand een jong krijgt dat op zijn beurt elke maand een jong kan voortbrengen? Naar aanleiding van dit wiskundige probleem wordt de rij van Fibonacci ook wel “konijnenrij” genoemd. Het aardige van dergelijke problemen was niet het praktische nut van de uitkomst maar vooral de vreugde van de ontdekking dat een vaste formule het mogelijk maakte een complex wiskundig probleem in een oogwenk op te lossen. Het gemak van het nieuwe rekensysteem gaf nog een extra dimensie.

Voor de geleerden aan het hof werd het een feest elkaar op de proef te stellen met elegante varianten van dit soort rekenkundige problemen, die op de traditionele manier heel moeilijk op te lossen zijn. Hoe lang doet een spin er over om tegen een muur van een bepaalde hoogte op te klimmen wanneer hij overdag een aantal voet vordert ’s nachts een paar voet terugzakt? Na hoeveel tijd heeft een hond een haas ingehaald wanneer de snelheid van beiden met een bepaalde rekenkundige grootheid toeneemt? Wat is het geldbedrag dat twee mensen hebben wanneer een bepaald bedrag steeds van eigenaar wisselt onder vermeerdering/vermindering van een bepaald percentage?

De rij van Fibonacci – beginnend bij ‘0’ is elk getal van de rij de som van de twee voorgaande getallen:– is de geschiedenis in gegaan als de beroemdste van dit soort reeksen die door wiskundigen ‘recursieve definities’ worden genoemd. Een beknopte manier om de oneindige rij 0-1-1-2-3-5-8-13… aan te duiden is door middel van een formule. Wiskundigen smullen hiervan.

De formule voor de reeks van Fibonacci is: “Fn= (Fn-1) + (Fn-2) voor alle ‘n’ groter dan 1.” Een iets afwijkende variant op dé rij van Fibonacci werd genoemd naar diens zoon. De minder bekende “rij van Lucas”, die alleen een andere startwaarde heeft, is zeker zo elegant: 1-3-4-7-11-18-29-47… Er is ook een “rij van Tribonacci” waarbij niet twee, maar drie opeenvolgende getallen worden gebruikt. Het aantal van dergelijke rijen/reeksen is verder onbeperkt, zoals iedereen weet die ooit een psychologische test heeft gedaan. De moderne poëzie kent zelfs het zesregelige Fibonaccigedicht, waarin – analoog aan de Japanse haiku – de verdeling van de lettergrepen strak voorgeschreven is. Een huldeblijk aan de Pisaan:

Hij

is

en blijft

nog altijd

de allergrootste

wiskundige die ik maar ken.

de oorsprong van de rij van Fibonacci

Fibonacci bracht de naar hem genoemde getallenreeks als eerste onder de aandacht van het Westen. Maar hij was er niet de ontdekker van. De oorsprong van de rij gaat ver terug, tot de muziek, de oudste van alle wetenschappen. De rij wordt al in 450 v.Chr. vermeld in het Sanskriet, door de Indiase musicoloog Pingala, de auteur van de Chanda Sutra in een studie over ‘de kunst van de versmaat’. Hij noemt het verschijnsel ‘de berg van de cadens’. Het verband tussen versvormen, muziek en wiskunde is geen toevallige. Net zoals de Aboriginals zich het landschap “herinneren” door het te zingen (songlines als prehistorische Tomtom ), zo schreven de Hindoes hun wetenschappelijke werken gewoonlijk in dichtvorm: daardoor waren ze makkelijker te onthouden.

de gulden snede

De rij van Fibonacci heeft fascinerende eigenschappen. Zo is elke optelsom van tien opeenvolgende getallen een getal dat deelbaar is door elf. Om de zestig (!) getallen komt hetzelfde laatste cijfer terug: het 2e getal eindigt op ‘1’, net zoals het 62e en het 122e. Het lijkt alsof in de rij van Fibonacci een tipje wordt opgetild van een mysterieuze sluier waarachter wonderlijke wereldwetten schuil gaan. De vraag dringt zich op of God een wiskundige is.

Het meest magische van de rij van Fibonacci is de verbinding met de Gulden Snede. De astronoom Johannes Kepler ontdekte in 1611 wat er gebeurt wanneer een getal uit de rij van Fibonacci wordt gedeeld door het daaraan voorafgaande getal. Het quotiënt is namelijk altijd 1,6. Hoe verder in de rij, hoe preciezer je uitkomt op het Gouden Getal: 1,618033988…. Met dit getal, aangeduid met het Griekse symbool Φ [phi], wordt het verschijnsel van de “ideale maatverhouding” uitgedrukt. De Griekse wiskundige Euclides (± 300 v.Chr.), die werkzaam was in de bibliotheek van het Egyptische Alexandrië, was de eerste die melding maakt van dit verschijnsel.

De Gulden Snede (sectio aurea) geldt als de “mooiste” verdeling van een lijn. De meest harmonische manier om dat te doen, is geen verdeling precies in tweeën, maar in een verhouding van ongeveer 5:8. Preciezer uitgedrukt: het kortste lijnstuk verhoudt zich tot het langste lijnstuk zoals het langste lijnstuk zich verhoudt tot de hele lijn. Harmonie gaat boven symmetrie.

Op allerlei manieren is aangetoond dat wonderlijke verschijnsel bepalend is voor wat mensen intuïtief als “aangenaam” of “mooi” ervaren. In de natuur komt de Gulden Snede op talloze plekken voor in de vorm van de “Wonderlijke Spiraal” of “Spiraal van Archimedes” (Spiralis Mirabilis). Daarin komen we de Gulden Hoek tegen: de kromming van de spiraal (de verhouding tussen de interne hoek en de externe hoek van de spiraal) is precies 1,1618.

Zodoende komen we de Gulden Snede alsmaar tegen: in de spiraalvormige verdeling van zonnebloemzaden, de roosjesstructuur van een bloemkool, in de spiralen van dennenappels en ananassen tot aan de rangschikking van bloemblaadjes. De Gulden Snede bepaalt de opbouw van kristallen en de spiraalvorm van slakkenhuizen en schelpen; het ordent de structuur van ons DNA en bepaalt de schikking van de sterrenstelsels.

Ook het menselijk lichaam is een opeenstapeling van de harmonische wet van de Gulden Snede. Of wij iemand “mooi” of “niet mooi” vinden, wordt vooral bepaald door de onbewuste inschatting van de evenwichtige verhouding van zijn/haar lichaamsdelen. Van je vingerkootjes tot je armen tot de je hoofd en je gezicht. Zelfs het op een ECG zichtbaar gemaakte patroon van je hartslag gedraagt zich volgens het principe van de Gulden Snede.

In de geschiedenis van de architectuur komen we de Gulden Snede overal tegen. De piramides van Gizeh, het Parthenon in Athene, de piramides van de Maya’s, het hoofdportaal van Castel del Monte, de Nôtre Dame in Parijs, de kerken van Bramante, de Taj Mahal, de gebouwen van Le Corbusier.

Hetzelfde geldt voor de andere kunsten: schoonheid wordt beleefd volgens de harmonische wetten van de wiskunde. Beelden van Paul Rodin, muziek van Beethoven en Mozart, de schilderkunst van de Renaissance, werken van Dürer, Dali en Mondriaan. Wat is de opbouw van een octaaf op de piano? Hoe zit een gamba in elkaar? Hoe hangt een exposant zijn schilderijen op? Waarom plaatst een ervaren fotograaf de horizon niet in het midden van het beeld? Hoe bepaalt Apple de verhouding van zijn beeldscherm? Hoe is het logo van de Visa MasterCard opgebouwd?

De Gulden Snede komt eveneens voor op de effectenbeurs (de “Fibonacci retracement”) bij stapsgewijze bewegingen van het koersverloop. In de boekdrukkunst wordt de Gulden Snede vaak toegepast in de verhouding van de bladspiegel (de lengte en breedte van een pagina) tot de zetspiegel (de grootte van de gedrukte tekst).

Vanwege zijn mysterieuze, ongrijpbare schoonheid werd de Gulden Snede door de wiskundige kloosterling Lucas Pacioli (1445-1517) gedoopt tot ‘Proportio Divina’, ‘Goddelijke Verhouding’. Pacioli stelt dat schilders bij het uitbeelden van schoonheid de wetten van de wiskunde volgen. Volgens hem berust de verdeling van ruimtelijke vlakken en diepte in een schilderij op wiskundige verhoudingen.

De alleskunner Leonardo da Vinci (1452-1519) en de Gulden Snede vormen een verhaal apart. Het Laatste Avondmaal, De Mona Lisa, Leda en de Zwaan zijn allemaal schoolvoorbeelden van de Gulden Snede. De schets “Man van Vitruvius” gaat zelfs over niets anders. Leonardo’s fascinatie voor de Gulden Snede is mogelijk niet zonder reden. Sommige historici beweren dat deze Leonardo (vandaar zijn naam?) een rechtstreekse afstammeling zou zijn van Leonardo Fibonacci.

Leonardo da Vinci werd geboren in Anchiano, iets buiten Pisa, op de weg naar Florence. …. Hij was de zoon van een Florentijnse notabele, de notaris Ser Piero Fruosino di Antonio da Vinci en diens (ongetrouwde) vrouw Caterina.

Als een rechthoek steeds verder wordt opgedeeld volgens de rij van Fibonacci, komt de diagonaal van alle verkleinde rechthoeken samen in één snijpunt, dat “het Oog van God” wordt genoemd. Wie zich in de Gulden Snede verdiept, stuit op vreemde zaken. Waarom heeft het Latijnse kruis deze verhouding? Is het toeval dat Mekka precies op de Gulden Snede tussen de polen ligt? Hoe valt het te duiden dat we vanuit de ruimte laagfrequente trillingen opvangen van exact 1,618033 hertz?